Gentili signore, gentili signori,
dato che è estate, fa caldo, la scuola è finita (maturità comprese), e una buona parte di voi non ha nulla di buono da fare, vi propongo io qualcosa.
Visto che pare, si dice, ci siano anche personcine capaci su questo forum, vi propongo qualche quesitino di matematica che siete invitati a risolvere.
Se vi piace possiamo proseguire, se vi appalla smetto.
Questa volta alcuni classici paradossi matematici.
Nota 1: dovete sapere un pochino di algebra, almeno i prodotti notevoli (
)
Nota 2: a^2 significa "a elevato alla seconda".
1) Questo è facile, per scaldarvi.
Prendo due numeri uguali, diciamo a e b, entrambi diversi da zero; seguite i passaggi:
ab = a^2
ab - b^2 = a^2 - b^2
b(a - b) = (a + b)(a - b)
b = a + b
b = 2 b
cioè un numero è uguale al suo doppio.
Trovate l'errore.
2) Ma questo era troppo facile, passiamo ad uno più interessante.
Prendo due numeri, a e b, qualunque.
La loro media aritmetica la chiamo c.
Seguite i passaggi:
a + b = 2c (definizione di media)
(a + b)(a - b) = 2c(a - b)
a^2 - b^2 = 2ac - 2bc
a^2 - 2ac = b^2 - 2bc
a^2 - 2ac + c^2 = b^2 - 2bc + c^2
(a - c)^2 = (b - c)^2
Quindi a = b, qualunque siano a e b, cioè tutti i numeri sono uguali tra loro.
Trovate l'errore.
Vediamo che ne pensate di questa pensata estiva dovuta al troppo caldo.
3) Allora, andiamo su cose serie.
In un prato l'erba cresce dappertutto alla stessa velocità e densità. Si sa che 70mucche possono mangiarla tutta in 24 giorni, e 30 in 60 giorni. Quante mucche ci vogliono per mangiare tutta l'erba in 96 giorni? Attenzione, mentre le mucche mangiano l'erba ricresce....
Per curiosità, come ho detto in privato a qualcuno che apprezza queste cose (Diego
), questo problema l'ha inventato Newton, che lo pubblicò nella sua Aritmetica Universale, dicendo: "Quando si studiano le scienze, gli esercizi sono più utili delle regole". E poi se ne venne fuori con questo piccolo capolavoro.
4) Allora, siete stati piuttosto bravi, perciò vediamo di fare qualcosa di più astratto.
Naturalmente dedico questo giochino a Cavalla.
Dimostriamo per induzione che tutti i cavalli sono dello stesso colore.
Caso n = 1.
E' ovvio per un solo cavallo.
Caso n = k.
Supponiamo di avere k+1 cavalli.
Togliamone 1, così diventano k; sappiamo per ipotesi induttiva che questi k cavalli sono tutti dello stesso colore.
Rimettiamo il cavallo tolto, e togliamone uno diverso; ne abbiamo ancora k, che, per ipotesi induttiva, devono essere tutti dello stesso colore.
Ripetendo questo procedimento per k+1 volte, troviamo che i k+1 cavalli sono tutti dello stesso colore.
Dunque, se la proposizione è vera per n=k, allora è vera anche per n=k+1 cavalli.
Ne segue l'asserto.
Come è possibile?
