Vi vedo tutti belli informati!!
Montmartre la zona è bella, consiglio di trovare un hotel tra place de clichy ed al massimo il metro anvers. Evitare assolutamente Barbès.
Republique dipende da dove vai, se sei sul canal saint martin è carino.
a parigi si parea ovunque oltre a Montmartre, dove ci sono bei locali, ti consiglio un giro a rue de la roquette a Bastille, al quartiere Melinmontant, a Saint Germain, Saint Michel.
Il consiglio di Marcello è ottimo, su booking e venere trovi belle cose, poi per sapere com'è l'hotel ti fai un giro su tripadvisor ed hai fatto.
Comunque visto che sei con la famiglia e vuoi spendere poco, conoscendo Parigi e stando con la famiglia è meglio se trovi un appartamento, oltre ad Homelidays vedi anche Abritel .
Per l'Ile de France è la regione di Parigi.
Per il resto la città è tranquilla ovunque, come ti dicevo da evitare la zona della Goute d'or dove si trova barbès forse zone tipo 19° e 20° arrondissement (ma anche li' diênde dalle zone.
A me una zona che piace molto è Batignolles.
Comunque fammi sapere che trovi.